Question

【題目】已知a∈R，函數f（x）=ex﹣1﹣ax的圖象與x軸相切． （Ⅰ）求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）當x＞1時，f（x）＞m（x﹣1）lnx，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=ex﹣1﹣a，設切點為（x0 ， 0）， 依題意， ，解得
所以f′（x）=ex﹣1﹣1．
當x＜1時，f′（x）＜0；當x＞1時，f′（x）＞0．
故f（x）的單調遞減區間為（﹣∞，1），單調遞增區間為（1，+∞）．
（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣m（x﹣1）lnx，x＞0．
則g′（x）=ex﹣1﹣m（lnx+ ）﹣1，
令h（x）=g′（x），則h′（x）=ex﹣1﹣m（ + ），
（ⅰ）若m≤ ，
因為當x＞1時，ex﹣1＞1，m（ + ）＜1，所以h′（x）＞0，
所以h（x）即g′（x）在（1，+∞）上單調遞增．
又因為g′（1）=0，所以當x＞1時，g′（x）＞0，
從而g（x）在[1，+∞）上單調遞增，
而g（1）=0，所以g（x）＞0，即f（x）＞m（x﹣1）lnx成立．
（ⅱ）若m＞ ，
可得h′（x）在（0，+∞）上單調遞增．
因為h′（1）=1﹣2m＜0，h′（1+ln（2m））＞0，
所以存在x1∈（1，1+ln（2m）），使得h′（x1）=0，
且當x∈（1，x1）時，h′（x）＜0，所以h（x）即g′（x）在（1，x1）上單調遞減，
又因為g′（1）=0，所以當x∈（1，x1）時，g′（x）＜0，
從而g（x）在（1，x1）上單調遞減，
而g（1）=0，所以當x∈（1，x1）時，g（x）＜0，即f（x）＞m（x﹣1）lnx不成立．
縱上所述，k的取值范圍是（﹣∞， ]
【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，根據函數圖象與x軸相切，求出a的值，從而求出函數的單調區間；（Ⅱ）求出g（x）的導數，通過討論m的范圍，結合函數的單調性以及f（x）＞m（x﹣1）lnx，求出m的范圍即可．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能正確解答此題．