Question

如圖在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°2AC=AA₁=BC=2。
（Ⅰ）若D為AA₁中點，求證：平面B₁CD⊥平面B₁C₁D；
（Ⅱ）若二面角B₁－DC－C₁的大小為60°，求AD 的長。

Answer 1

（2）

（1）證明：如圖，以C為原點，CA、CB、CC₁所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則C（0，0，0），A（1，0，0），B₁（0，2，2），

C₁（0，0，2），D（1，0，1）。
即，由，得；由，得；
又。又平面，∴平面B₁CD⊥平面B₁C₁D。
（2）設，則D點坐標為，設平面B₁CD的法向量為。則由，令，得，又平面C₁DC的法向量為，則，，故。………………12分