(14分）己知函數f (x)=ex，x
R
(1)求 f (x)的反函數圖象上點(1,0)處的切線方程。
(2)證明：曲線y=f(x)與曲線y=
有唯一公共點；
(3)設
，比較
與
的大小，并說明理由。
(1) 
；(2) 詳見解析；(3) 
.
解析試題分析：(1)f (x)的反函數
. 直線y=kx+1恒過點P（0，1），該題即為過某點與曲線相切的問題，這類題一定要先設出切點的坐標
，然后求導便可得方程組，解方程組即可得k的值.
(2)曲線y=f(x)與曲線
的公共點個數即方程
根的個數. 而這個方程可化為
，令
，結合的圖象即可知道
取不同值時，方程的根的個數.
(3) 比較兩個式子的大小的一般方法是用比較法，即作差，變形，判斷符號.
結合這個式子的特征可看出，我們可研究函數
的函數值的符號，而用導數即可解決.
試題解析：(1) f (x)的反函數為. 
，
，所以過點
的切線為： .
4分
(2) 令
，則
，當
時
，當
時
，
，所以
在R上單調遞增.又
，所以有且只有一個零點，即曲線
與
有唯一一個公共點.8分
(3) 設
9分
令，則
，
的導函數
，所以在
上單調遞增，且
，因此
，
在上單調遞增，而
，所以在上
. 12分
當時，
且即
，
所以當時， 14分
考點：1、導數的應用；2、方程的根；3、比較大小.
世紀百通期末金卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
學校操場邊有一條小溝,溝沿是兩條長150米的平行線段,溝寬
為2米,，與溝沿垂直的平面與溝的交線是一段拋物線，拋物線的頂點為
，對稱軸與地面垂直，溝深2米，溝中水深1米．
（Ⅰ）求水面寬；
（Ⅱ）如圖1所示形狀的幾何體稱為柱體，已知柱體的體積為底面積乘以高，求溝中的水有多少立方米？
（Ⅲ）現在學校要把這條水溝改挖(不準填土)成截面為等腰梯形的溝，使溝的底面與地面平行，溝深不變，兩腰分別與拋物線相切（如圖2），問改挖后的溝底寬為多少米時，所挖的土最少？
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
（
為常數），其圖象是曲線
．
（1）當
時，求函數
的單調減區間；
（2）設函數的導函數為
，若存在唯一的實數
，使得
與
同時成立，求實數
的取值范圍；
（3）已知點
為曲線上的動點，在點處作曲線的切線
與曲線交于另一點
，在點處作曲線的切線
，設切線
的斜率分別為
．問：是否存在常數
，使得
？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
，f '（x）為f（x）的導函數，若f '（x）是偶函數且f '（1）=0.
⑴求函數
的解析式；
⑵若對于區間
上任意兩個自變量的值
，都有
，求實數
的最小值；
⑶若過點
，可作曲線
的三條切線，求實數
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
.
（1）當
時，求函數
在
上的最大值；
（2）令
，若
在區間
上不單調，求
的取值范圍；
（3）當時，函數
的圖象與
軸交于兩點
，且
，又
是
的導函數.若正常數
滿足條件
.證明：
.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
某地區注重生態環境建設，每年用于改造生態環境總費用為
億元，其中用于風景區改造為
億元。該市決定建立生態環境改造投資方案，該方案要求同時具備下列三個條件：①每年用于風景區改造費用隨每年改造生態環境總費用增加而增加；②每年改造生態環境總費用至少
億元，至多
億元；③每年用于風景區改造費用不得低于每年改造生態環境總費用的15%，但不得高于每年改造生態環境總費用的25%.
若
，
，請你分析能否采用函數模型y＝
作為生態環境改造投資方案.
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.
，函數
在區間
上是單調遞增函數，求實數
的取值范圍；
，若對任意
恒成立，求
,
(
).
的單調區間；
時,對于任意
,總有
成立．
，
，
，
.
表達式（不需證明）；
；
，
的最大值為
，
，試求
的最小值.