Question

設a＜1，集合，，.
（1）求集合D（用區間表示）；
（2）求函數在D內的極值點．

Answer 1

（1）i)當0<a<時，D＝A∩B＝(0，x₁)∪(x₂，＋∞)；
ii)當a≤0時，D＝(x₂，＋∞)．
（2）f(x)在D內單調遞增．因此f(x)在D內沒有極值點．

(1)解本小題的關鍵是令h(x)＝2x²－3(1＋a)x＋6a，根據Δ，然后根據a的值分類討論，求出h(x)>0的解集，從而可確定D.
(2)先求出f′(x)＝6x²－6(1＋a)x＋6a＝6(x－1)(x－a),然后再根據(1)中a在不同取值下對應的D，確定f(x)的極值.
解：（1）x∈D?x>0且2x²－3(1＋a)x＋6a>0.
令h(x)＝2x²－3(1＋a)x＋6a，Δ．
①當<a<1時，Δ<0，所以?x∈R，h(x)>0，所以B＝R.于是D＝A∩B＝A＝(0，＋∞)．
②當a＝時，Δ＝0，此時方程h(x)＝0有唯一解，x₁＝x₂＝＝＝1，
所以B＝(－∞，1)∪(1，＋∞)．于是D＝A∩B＝(0,1)∪(1，＋∞)．
③當a<時，Δ>0，此時方程h(x)＝0有兩個不同的解x₁＝，x₂＝.
因為x₁<x₂且x₂>0，所以B＝(－∞，x₁)∪(x₂，＋∞)．
又因為x₁>0?a>0，所以
i)當0<a<時，D＝A∩B＝(0，x₁)∪(x₂，＋∞)；
ii)當a≤0時，D＝(x₂，＋∞)．
（2）f′(x)＝6x²－6(1＋a)x＋6a＝6(x－1)(x－a)．
當a<1時，f(x)在R上的單調性如下表：

①當<a<1時，D＝(0，＋∞).由表可得，x＝a為f(x)在D內的極大值點，x＝1為f(x)在D內的極小值點．
②當a＝時，D＝(0,1)∪(1，＋∞)．由表可得，x＝為f(x)在D內的極大值點．
③當0<a<時，D＝(0，x₁)∪(x₂，＋∞)．
因為x₁＝＝≥ [3＋3a－(3－5a)]＝2a>a且x₁<<1，
x₂＝＝>＝1，
所以a∈D,1∉D.
由表可得，x＝a為f(x)在D內的極大值點．
④當a≤0時，D＝(x₂，＋∞)且x₂>1.
由表可得，f(x)在D內單調遞增．因此f(x)在D內沒有極值點．