Question

（本小題滿分12分）已知其中是自然對數的底 .
(1)若在處取得極值，求的值；
(2)求的單調區間；
(3)設，存在，使得成立，求 的取值范圍.

Answer 1

(Ⅰ) 。(Ⅱ) 綜上所述，當時，的減區間是，
當時，的減區間是，增區間是.  (III) .

本試題主要是考查了導數在研究函數性質中的運用，求解極值和單調區間，以及證明不等式的總額和運用。
（1）.                              
由已知, 解得.
（2）因為，對于參數a大于零還是小于零，還是等于零分情況討論得到單調性。
（3）當時,由(Ⅱ)知的最小值是；         
易知在上的最大值是，則轉換為不等式組得到結論。
解： (Ⅰ) .                              
由已知, 解得.                            
經檢驗, 符合題意.                     ………… 3分
(Ⅱ) .
1)                       當時，在上是減函數.
2)當時，.
①                       若，即，
則在上是減函數，在上是增函數；
②若，即，則在上是減函數.   
綜上所述，當時，的減區間是，
當時，的減區間是，增區間是.   ……… 7分
(III)當時,由(Ⅱ)知的最小值是；         
易知在上的最大值是；                    
注意到,
故由題設知                            
解得.故的取值范圍是.              ……… 12分