Question

【題目】已知橢圓的左，右焦點(diǎn)為，左，右頂點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的

直線分別交橢圓于點(diǎn).

（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）設(shè)，求證：直線過(guò)軸上的定點(diǎn).

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3)證明見解析.

【解析】試題分析：（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），由兩點(diǎn)距離公式將PF2﹣PB2=4，用點(diǎn)點(diǎn)距寫出表示式，整理即得點(diǎn)P的軌跡方程．（2）將分別代入橢圓方程，解出點(diǎn)M與點(diǎn)N的坐標(biāo)由兩點(diǎn)式寫出直線AM與直線BN的方程聯(lián)立解出交點(diǎn)T的坐標(biāo)．（3）寫出兩條直線，和橢圓聯(lián)立得到交點(diǎn)坐標(biāo)，用MN兩點(diǎn)坐標(biāo)表示直線，從而得到結(jié)論。

（1）由題意知:，設(shè)，則

， 化簡(jiǎn)整理得:

（2）把代人橢圓方程,分別求出: ，

直線 ①

直線 ②

由 ①、②得：；

（3）由已知，

直線與橢圓聯(lián)立，得：

直線與橢圓聯(lián)立，得：

直線的方程為：

化簡(jiǎn)得

令，解得，即直線過(guò)軸上定點(diǎn).