Question

【題目】如圖，已知直線關于直線對稱的直線為，直線與橢圓分別交于點、和、，記直線的斜率為.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）當變化時，試問直線是否恒過定點? 若恒過定點，求出該定點坐標；若不恒過定點，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）1;（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）可以設直線的方程為，再設直線上任意一點關于直線對稱點為，于是分別表示出，由直線對稱性可知， 所在直線與垂直，且中點在上，于是整理得出的值；（Ⅱ）本問考查橢圓中直線過定點問題，設，將AM方程與橢圓方程聯立，可以求出點M的坐標，同理將直線AN方程與橢圓方程聯立，可以求出點N的坐標，根據M，N兩點坐標，可以求出直線MN的方程，從而判定直線MN是否過定點.

試題解析：（Ⅰ）設直線上任意一點關于直線對稱點為

直線與直線的交點為，∴

，由

得……..①

由得…….②，

由①②得

.

（Ⅱ）設點，由得，

∴，∴.

同理： ，

，∴

即：

∴當變化時，直線過定點.