Question

【題目】已知橢圓（）的左右焦點分別為、，離心率.過的直線交橢圓于、兩點，三角形的周長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若弦，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）;（2）.

【解析】試題分析：（1）利用橢圓的離心率以及的周長為8，求出a，c，b，即可得到橢圓的方程，
（2）求出直線方程與橢圓方程聯立，點的坐標為, 的坐標為求出A，B坐標，然后求解三角形的面積即可．

試題解析：

（1）三角形的周長，所以.

離心率，所以，則.

橢圓的方程為：

（2）設點的坐標為, 的坐標為， 的斜率為（顯然存在）

.

.

點睛: 本題主要考查直線與圓錐曲線位置關系，所使用方法為韋達定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉化為方程組關系問題，最終轉化為一元二次方程問題，故用韋達定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之一，尤其是弦中點問題，弦長問題，可用韋達定理直接解決，但應注意不要忽視判別式的作用．