Question

【題目】已知數列{an}滿足，an+2＝3an+1﹣2an，a1＝1，a2＝3，記bn，Sn為數列{bn}的前n項和.

（1）求證：{an+1﹣an}為等比數列，并求an；

（2）求證：Sn.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；an＝2n﹣1，n∈N*；（2）證明見解析

【解析】

(1)將題干中遞推公式進行轉化可得，從而可證得數列{an+1﹣an}是以2為首項，2為公比的等比數列，則有，n∈N*.然后根據此遞推公式的特點運用累加法可計算出數列{an}的通項公式；

(2)先根據第(1)題的結果計算出數列{bn}的通項公式，然后運用數學歸納法證明不等式成立，注意在具體證明過程中運用分析法證明根式不等式成立，綜合即可證得不等式成立.

證明：（1）依題意，由an+2＝3an+1﹣2an，可得：

，

∵a2﹣a1＝3﹣1＝2，

∴數列{an+1﹣an}是以2為首項，2為公比的等比數列，

∴，n∈N*.

故a1＝1，

a2﹣a1＝21，

a3﹣a2＝22，

…

an﹣an﹣1＝2n﹣1，

各項相加，可得

an＝1+21+22+…+2n﹣12n﹣1，n∈N*.

（2）由（1）知，bn，

下面用數學歸納法證明不等式成立，

①當n＝1時，S1＝b1，

∵右邊，

要證明：，

只要證明：2，

兩邊平方，可得，

化簡整理，得27，

∵（2）2＝40＜72＝49，

∴成立，

即當n＝1時，不等式成立.

②假設當n＝k時，不等式成立，即Sk，

則當n＝k+1時，，

要證明：Sk+1，

只要證明：，

，

化簡，得，

兩邊平方，可得（）2≤（）2，

化簡整理，得3k+7，

兩邊平方，可得（3k+4）（3k+10）≤（3k+7）2，

化簡整理，得9k2+42k+40≤9k2+42k+49，

∵40＜49，

∴9k2+42k+40≤9k2+42k+49成立，

∴成立，

即：Sk+1成立，

∴當n＝k+1時，不等式也成立.

綜上所述，可得

對n∈N*成立，故得證.