Question

【題目】函數，為的導數．

（1）若，求在處的切線方程；

（2）求的單調區間；

（3）若方程有兩個不等的實根，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）．（2）在單增，在單減．（3）

【解析】

（1）先對函數求導，將代入導函數中求得的值為切線的斜率，然后利用點斜式方程可寫出切線方程；

（2）對函數求導后，由的范圍判斷導函數的正負，從而可求得其單調區間；

（3）有兩個不等的實根，等價于有兩個不等實根，

等價于與有兩個不同的交點，然后對求導判斷其單調區間，可求出的取值范圍，從而可得的取值范圍.

（1）當時，，，

切線斜率，，切點，

∴切線方程．

（2），定義域，

，

當，恒成立，即在單調遞增，

當，令，解得，即在單調遞增，

令，解得，即在單調遞減．

（3）有兩個不等的實根，即有兩個不等實根，

等價于與有兩個不同的交點，

因為，所以當時，，當時，

即在單調遞增，單調遞減，

而易知，，

，，，

∴，即．（其他合理方法均可）