Question

已知函數=。
（1）當時，求函數的單調增區間；
（2）求函數在區間上的最小值；
（3）在（1）的條件下，設=+，
求證：  （），參考數據：。（13分）

Answer 1

（1）單調增區間是，；
（2）時，；時，==；時，==.
（3）證明詳見解析.

解析試題分析：（1）求f（x）的導函數f′（x），討論a的值使f′（x）＞0時對應f（x）單調增，
f′（x）＜0時，對應f（x）單調減；
（2）結合（1），討論a的取值對應f（x）在區間[1，e]內的單調性，從而求得f（x）在區間[1，e]內的最小值．
試題解析：（1）當時，=，，得或，故的單調增區間是，。   3分
（2）=，==，
令=0得或。
當時，，遞增，；        6分
當時，，＜0，遞減；，，遞增，
==             7分
當時，，0，遞減，==…8分
（3）令=—，。，遞減，
，，∴ ，
==……=  （）……13分
考點：1.利用導數研究函數的單調性；2.利用導數求閉區間上函數的最值．3.利用導數的性質證明不等式.