Question

已知是二次函數(shù)，不等式的解集是，且在點(diǎn)處的切線與直線平行．
(1)求的解析式；
(2)是否存在t∈N^*，使得方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根？
若存在，求出t的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）.
（2）存在唯一的自然數(shù)，使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根. 

解析試題分析：（1）根據(jù)是二次函數(shù)，及不等式的解集是，
可設(shè)，. 再根據(jù)函數(shù)在切點(diǎn)的斜率就是該點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值，可建立
方程，解得.
（2）首先由（1）知，方程等價(jià)于方程.
構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)“求導(dǎo)數(shù)、求駐點(diǎn)、討論導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)”明確函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，通過(guò)計(jì)算，
認(rèn)識(shí)方程有實(shí)根的情況.
試題解析：（1）∵是二次函數(shù)，不等式的解集是，
∴可設(shè)，.
∴.                                           2分
∵函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線平行，
∴.
∴，解得.
∴.                           5分
（2）由（1）知，方程等價(jià)于方程  6分
設(shè)，
則.                         7分
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增.   9分
∵，
∴方程在區(qū)間，內(nèi)分別有唯一實(shí)數(shù)根，在區(qū)間
內(nèi)沒(méi)有實(shí)數(shù)根.                  12分
∴存在唯一的自然數(shù)，使得方程
在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)不等的根.      13分
考點(diǎn)：二次函數(shù)，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.