Question

設F₁，F₂是橢圓C：的左、右焦點，A、B分別為其左頂點和上頂點，△BF₁F₂是面積為的正三角形．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過右焦點F₂的直線l交橢圓C于M，N兩點，直線AM、AN分別與已知直線x=4交于點P和Q，試探究以線段PQ為直徑的圓與直線l的位置關系．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由△BF₁F₂是面積為的正三角形，知=，c=1，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設直線l方程為：x=my+1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由，得（3m²+4）y²+6my-9=0，
再由韋達定理和點到直線的距離公式結合題設條件進行求解．
解答：解：（Ⅰ）∵△BF₁F₂是面積為的正三角形，
∴=，c=1，
b=，b=，
∴a²=4，
∴橢圓C的方程為．
（Ⅱ）根據題意可知，直線l斜率不為0，
設直線l方程為：x=my+1，
M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由，得
（3m²+4）y²+6my-9=0，
∴，
設點P（4，y_P），Q（4，y_Q），
∵A，M，P三點共線，由，得，
同理，…..（10分）
線段PQ的中點D即（4，-3m），
則D到直線l的距離為…．（12分）
以PQ為直徑的圓的半徑 …..（14分）

因為d=r，所以，以PQ為直徑的圓與直線l相切．…．（15分）
點評：通過幾何量的轉化考查用待定系數法求曲線方程的能力，通過直線與圓錐曲線的位置關系處理，考查學生的運算能力．通過向量與幾何問題的綜合，考查學生分析轉化問題的能力，探究研究問題的能力，并體現了合理消元，設而不解的代數變形的思想．本題綜合性強，是高考的重點，易錯點是知識體系不牢固．