Question

設(shè)F₁，F(xiàn)₂是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個焦點，若在C上存在一點P，使PF₁⊥PF₂，且∠PF₁F₂=30°，則C的離心率為

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)已知條件，利用橢圓的性質(zhì)推導出|PF₁|=2a-c，|PF₂|=c，|F₁F₂|=2c，∠F₁PF₂=90°，由此利用勾股定理能求出橢圓的離心率．

解答：解：∵F₁，F(xiàn)₂是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個焦點，
在C上存在一點P，使PF₁⊥PF₂，且∠PF₁F₂=30°，
∴|PF₁|=2a-c，|PF₂|=c，|F₁F₂|=2c，∠F₁PF₂=90°，
∴（2a-c）²+c²=4c²，
整理，得2a²-2ac=c²，
∴e²+2e-2=0，
解得e=

3

-1，或e=-1-

3

（舍）
故答案為：

3

-1．

點評：本題考查橢圓的離心率的求法，解題時要認真審題，注意勾股定理的合理運用．