Question

若不等式1+

4

x2+x

-

k

x

≥0對一切x＞0恒成立，則實數k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：計算題,不等式的解法及應用

分析：不等式1+

4

x2+x

-

k

x

≥0對一切x＞0恒成立，轉化為x+

4

x+1

≥k（x＞0）恒成立，利用求最值，即可求出實數k的取值范圍．

解答： 解：由題，1+

4

x2+x

≥

k

x

，
∵x＞0，∴x+

4

x+1

≥k．
而g(x)=x+

4

x+1

=x+1+

4

x+1

-1≥2

(x+1)( 4 x+1 )

-1=3，
當且僅當x+1=

4

x+1

，即x=1時g（x）取最小值3．
故k≤3．
故答案為：（-∞，3]．

點評：本題考查了基本不等式的性質、恒成立問題的等價轉化，轉化為x+

4

x+1

≥k是解題的關鍵．