Question

設{a_n}為等差數列，{b_n}為等比數列，a₁=b₁=1，a₂+a₄=b₃，b₂b₄=a₃，分別求出{a_n}及{b_n}的前10項的和S₁₀及T₁₀．

Answer 1

分析：根據等差數列的性質可知a₂+a₄=2a₃，根據等比數列的性質可知b₂b₄=b₃²，而已知a₂+a₄=b₃，b₂b₄=a₃，所以得到b₃=2a₃，a₃=b₃²，兩者聯立，由b₃≠0，即可求出a₃與b₃的值，然后分別根據a₁=b₁=1，利用等差及等比數列的通項公式求出等差數列的公差d及等比數列的公比q，然后根據等差、等比數列的前n項和的公式即可求出{a_n}及{b_n}的前10項的和S₁₀及T₁₀的值．

解答：解：∵{a_n}為等差數列，{b_n}為等比數列，
∴a₂+a₄=2a₃，b₂b₄=b₃²
已知a₂+a₄=b₃，b₂b₄=a₃，
∴b₃=2a₃，a₃=b₃²
得b₃=2b₃²
∵b₃≠0∴b3=

1

2

， a3=

1

4

由a₁=1，a3=

1

4

知{a_n}的公差為d=-

3

8

，
∴S10=10a1+

10×9

2

d=-

55

8

，
由b₁=1，b3=

1

2

知{b_n}的公比為q=

2

2

或q=-

2

2

．
當q=

2

2

時，T10=

b1(1-q10)

1-q

=

31

32

(2+

2

)，
當q=-

2

2

時，T10=

b1(1-q10)

1-q

=

31

32

(2-

2

)．

點評：此題考查學生靈活運用等差、等比數列的通項公式及等差、等比數列的前n項和的公式化簡求值，是一道綜合題．