Question

已知如下兩個命題：p：函數f(x)=

2x-3

kx2+4kx+5

的定義域為R；q：關于x的不等式|x+1|-|x+2|＜k恒成立．
若命題“p或q”與命題“p且q”一真一假，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：對于命題p為真時，要使f（x）的定義域為R，則分k=0和k≠0兩種情況考慮，從而得k的范圍，對于命題q可以先利用幾何意義求出|x+1|-|x+2|的最大值，從而求得命題q為真時k的范圍，再綜合命題一真一假，求出實數k的取值范圍．

解答：解：若命題p為真，則有k=0或

k≠0 △=16k2-20k＜0

，解得0≤k＜

5

4

若命題q為真，∵|x+1|-|x+2|的最大值為1，∴k＞1
因命題“p或q”與命題“p且q”一真一假，所以必有命題“p或q”為真，
命題“p且q”為假，即命題p，命題q一真一假，
故當命題p為真，命題q為假時，有0≤k≤1，
當命題p為假，命題q為真時，有k≥

5

4

，
綜上可得，實數k的取值范圍為[0，1]∪[

5

4

，+∞)．

點評：此題考查命題的真假判斷等，其中涉及到恒成立問題、函數定義域等知識，在解題過程中往往對于恒成立問題一般都是轉化為求某函數的最值，對于二次項的系數中含參數時，都要對參數進行分類討論．