Question

已知m＜9，給出如下兩個命題：
p：二次函數y=x²+（m-7）x+1在定義域R上不存在零點；
q：三次函數y=-x³+3x在開區間（m-9，9-m）上存在最大值與最小值．
若命題“p或q”為真命題，命題“p且q”為假命題，求實數m的范圍．

Answer 1

【答案】分析：根據函數零點與方程根的關系，可得方程x²+（m-7）x+1=0無實根，再由方程根與△的關系，可構造一個關于m 的不等式，解不等式可求出命題p成立的條件；根據三次函數的圖象與性質，由三次函數y=-x³+3x在開區間（m-9，9-m）上存在最大值與最小值，也可構造一個關于m 的不等式，解不等式可求出命題q成立的條件；然后根據若命題“p或q”為真命題，命題“p且q”為假命題，命題p與命題q中一個真，一個假，構造不等式組，即可得到答案．
解答：解：若二次函數y=x²+（m-7）x+1在定義域R上不存在零點
則方程x²+（m-7）x+1=0無實根
則△=（m-7）²-4＜0
解得5＜m＜9
若三次函數y=-x³+3x在開區間（m-9，9-m）上存在最大值與最小值．
則m-9≥-2，且9-m≤2，即m≥7
若命題“p或q”為真命題，命題“p且q”為假命題，
故命題p與命題q中一個真，一個假
又∵m＜9，
∴當p真q假時，5＜m＜7
p假q真時，無滿足條件的m的值
故實數m的范圍為（5，7）
點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷與應用，函數零點的判定定理，利用導數求閉區間上的函數的最值，綜合性比較強，難度也比較大．