Question

【題目】已知F1 ， F2是橢圓 （a＞b＞0）的兩個焦點，O為坐標原點，點P（﹣1， ）在橢圓上，且 =0，⊙O是以F1F2為直徑的圓，直線l：y=kx+m與⊙O相切，并且與橢圓交于不同的兩點A，B
（1）求橢圓的標準方程；
（2）當 =λ，且滿足 ≤λ≤ 時，求弦長|AB|的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意，由 =0，可得PF1⊥F1F2，

∴c=1，

將點p坐標代入橢圓方程可得 + =1，又由a2=b2+c2，

解得a2=2，b2=1，c2=1，

∴橢圓的方程為 +y2=1．

（2）解：直線l：y=kx+m與⊙x2+y2=1相切，則 =1，即m2=k2+1，

由直線l與橢圓交于不同的兩點A、B，設A（x1，y1），B（x2，y2），

由 ，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，

△=（4km）2﹣4×（1+2k2）（2m2﹣2）＞0，化簡可得2k2＞1+m2，

x1+x2=﹣ ，x1x2= ，

y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2= = ，

=x1x2+y1y2= = ，

≤ ≤ ，解可得 ≤k2≤1，

|AB|= =2

設u=k4+k2（ ≤k2≤1），

則 ≤u≤2，|AB|=2 =2 ，u∈[ ，2]

分析易得， ≤|AB|≤

【解析】（1）依題意，易得PF1⊥F1F2 ， 進而可得c=1，根據橢圓的方程與性質可得 + =1，a2=b2+c2 ， 聯立解可得a2、b2、c2的值，即可得答案；（2）根據題意，直線l與⊙x2+y2=1相切，則圓心到直線的距離等于圓的半徑1，即 =1，變形為m2=k2+1，聯立橢圓與直線的方程，即 ，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，設由直線l與橢圓交于不同的兩點A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），則△＞0，解可得k≠0，可得x1+x2=﹣ ，x1x2=﹣ ，進而將其代入y1y2=（kx1+m）（kx2+m）可得y1y2關于k的表達式，又由 =x1x2+y1y2= = ，結合題意 ≤λ≤ ，解可得 ≤k2≤1，根據弦長公式可得|AB|=2 ，設u=k4+k2（ ≤k2≤1），則 ≤u≤2，將|AB|用u表示出來，由u [ ，2]分析易得答案．