Question

【題目】【2017屆湖北省荊、荊、襄、宜四地七校考試聯盟高三2月聯考數學（文）】已知函數．

（Ⅰ）討論函數的極值點的個數；

（Ⅱ）若有兩個極值點，證明：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（ⅰ）時，僅有一個極值點；（ⅱ） 當時，無極值點；

（ⅲ）當時，有兩個極值點．（Ⅱ）詳見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）先求導數，再確定導函數零點情況，這需分類討論：一次與二次的討論，二次中有根與無根的討論，兩根情況分相等、一正一負、兩不等正根，最后根據對應情況確定導函數符號變化規律，確定對應極值點個數；（Ⅱ）由（Ⅰ）先確定有兩個極值點時，的取值范圍,以及滿足條件，再化簡為的函數，最后根據導數確定對應函數單調性，根據單調性證明不等式.

試題解析：解：（Ⅰ）由得，

（ⅰ）時， ，

所以取得極小值，是的一個極小值點．

（ⅱ）時，，令，得

顯然，，所以，

在取得極小值，有一個極小值點．

（ⅲ）時，時，即在是減函數，無極值點．

當時，，令，得

當和時，時，，所以在取得極小值，在取得極大值，所以有兩個極值點．

綜上可知：（ⅰ）時，僅有一個極值點；

（ⅱ） 當時，無極值點；

（ⅲ）當時，有兩個極值點．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當且僅當時，有極小值點和極大值點，且

是方程的兩根，所以，

，

設，，

所以時，是減函數，，則

所以得證．