Question

【題目】四面體P﹣ABC中，PA，PB＝PC＝AB＝AC＝2，BC＝2，動點Q在△ABC的內部（含邊界），設∠PAQ＝α，二面角P﹣BC﹣A的平面角的大小為β，△APQ和△BCQ的面積分別為S1和S2，且滿足，則S2的最大值為_____.

Answer 1

【答案】4﹣2.

【解析】

取BC的中點M，由題意可得AM＝PM＝PA，則β＝∠PMA＝60°，作QH⊥BC于H，則sinα，再由BC＝2PA＝2，可得AQ＝QH，即Q為三角形ABC內的一條拋物線，當Q在AB或AC上時，S2最大，求出S2的最大值.

如圖所示：

取BC的中點M，連接AM，PM，

因為PB＝PC＝AB＝AC，

AM⊥BC，PM⊥BC，且PA，PB＝PC＝AB＝AC＝2，BC＝2，

所以AM＝PM＝PA，

所以β＝∠PMA＝60°，

作QH⊥BC于H，

所以sinα，

所以

而BC＝2PA＝2，

所以AQ＝QH，

所以Q的軌跡是△ABC內的一條拋物線，

當Q在AB或AC上時，S2最大，

不妨設在AB上，此時，

即，

解得AQ＝QH＝2（1），

所以S2＝4﹣2.

故答案為：4﹣2