Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為矩形，DA⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，BF⊥平面ACE于點F，且點F在CE上．
（1）求證：AE⊥BE；
（2）求三棱錐C﹣ADE的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵DA⊥平面ABE，BC∥DA，

∴BC⊥平面ABE，

∵AE平面ABE，∴AE⊥BC，

∵BF⊥平面ACE于點F，AE平面ACE，

∴AE⊥BF，

∵BC∩BF=B，

BC平面BEC，BF平面BEC，∴AE⊥平面BEC，

∵BE平面BEC，∴AE⊥BE

（2）解：作EH⊥AB，

∵DA⊥平面ABE，EH平面ABE，∴AD⊥EH，

AD∩AB=A，AD平面ABCD，AB平面ABCD，

∴EH⊥平面ABCD，

由（1）得AE⊥BE，AE=EB=BC=2，

AB=2 ，EH= ，

∴三棱錐C﹣ADE的體積VC﹣ADE=VE﹣ACD= = = ．

【解析】（1）推導出BC⊥平面ABE，從而AE⊥BC，再求出AE⊥BF，從而AE⊥平面BEC，由此能證明AE⊥BE．（2）作EH⊥AB，三棱錐C﹣ADE的體積VC﹣ADE=VE﹣ACD ， 由此能求出結果．
【考點精析】關于本題考查的直線與平面垂直的性質，需要了解垂直于同一個平面的兩條直線平行才能得出正確答案．