Question

【題目】已知圓，過原點的直線與其交于不同的兩點.

（1）求直線斜率的取值范圍；

（2）求線段的中點的軌跡的方程；

（3）若直線與曲線只有一個公共點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ；（2）；（3）或.

【解析】

試題分析：（1）直線與其交于不同的兩點，，可得，即可求直線斜率的取值范圍；（2）利用，即可求線段的中點的軌跡的方程；（3）利用直線與曲線只有一個公共點，分類討論，即可求的取值范圍.

試題解析：（1）由得

直線過原點，可設其方程：

∵直線與其將于不同的兩點∴∴

（2）設點，∵點為線段的中點，

而曲線是圓心為，半徑的圓，∴

∴（且）化簡得①

由得

是不同的兩點，且點的坐標滿足①

因此點滿足②

這是圓心為，半徑為的一段圓弧（不包括端點），反之，可驗證以方程②的解為坐標的點是曲線上的一個點，因此②是軌跡的方程.

（3）設直線過

設直線與圓相切于點，則有，解得

直線的斜率為

類似的可得

綜上，若直線與曲線只有一個公共點，

則的取值范圍是或.