Question

（2006•豐臺(tái)區(qū)一模）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且2S_n=2-b_n，數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，a₅=14，a₇=20．若c_n=a_n•b_n，n=1，2，3，…．試判斷c_n+1與c_n的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：先根據(jù)2S_n=2-b_n求出b₁，然后根據(jù)n≥2時(shí)，bn=Sn-Sn-1=

bn-1-bn

2

，從而得到

bn

bn-1

=

1

3

，所以{b_n}是以b1=

2

3

為首項(xiàng)，公比

1

3

為的等比數(shù)列，求出{b_n}的通項(xiàng)，然后根據(jù)數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，求出其通項(xiàng)公式，最后根據(jù)c_n=a_n•b_n，然后判定c_n+1-c_n的符號(hào)可得所求．

解答：解：由2S_n=2-b_n⇒Sn=

2-bn

2

，當(dāng)n=1時(shí)，b1=

2

3

…（1分）
當(dāng)n≥2時(shí)，bn=Sn-Sn-1=

bn-1-bn

2

⇒3bn=bn-1⇒

bn

bn-1

=

1

3

所以{b_n}是以b1=

2

3

為首項(xiàng)，公比

1

3

為的等比數(shù)列，且bn=2•(

1

3

)n…（7分）
數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，所以公差 d=

1

2

(a7-a5)=3，an=3n-1…（10分）
又    cn=an•bn=2(3n-1)(

1

3

)n⇒cn+1-cn=2•(

1

3

)n+1(5-6n)
因?yàn)閚=1，2，3，…所以5-6n＜0則c_n+1-c_n＜0
所以  c_n+1＜c_n…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系，以及等式數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列與不等式的綜合，同時(shí)考查了利用作差法比較大小，屬于中檔題．