Question

若（ax²+

b

x

）⁶的展開式中x³項(xiàng)的系數(shù)為20，則a²+b²的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),基本不等式

專題：二項(xiàng)式定理

分析：利用二項(xiàng)式定理的展開式的通項(xiàng)公式，通過x冪指數(shù)為3，求出ab關(guān)系式，然后利用基本不等式求解表達(dá)式的最小值．

解答： 解：（ax²+

b

x

）⁶的展開式中x³項(xiàng)的系數(shù)為20，
所以T_r+1=

C

r 6

(ax2)6-r(

b

x

)r=

C

r 6

a6-rbrx12-3r，
令12-3r=3，∴r=3，

C

3 6

a3b3=20，
∴ab=1，
a²+b²≥2ab=2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)取等號(hào)．
a²+b²的最小值為：2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，基本知識(shí)的考查．