Question

【題目】已知函數f（x）的定義域為（﹣1，1），且同時滿足下列條件：
①f（x）是奇函數；
②f（x）在定義域上單調遞減；
③f（1﹣a）+f（1﹣a2）＜0．
求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：由f（1﹣a）+f（1﹣a2）＜0得f（1﹣a）＜﹣f（1﹣a2），

∵函數y=f（x）是奇函數，

∴﹣f（1﹣a2）=f（a2﹣1），

即不等式等價為f（1﹣a）＜f（a2﹣1），

∵y=f（x）在定義域（﹣1，1）上是減函數，

∴有 ，即 ，

∴ ，解得0＜a＜1．

故答案為：0＜a＜1．

【解析】利用函數是奇函數，將不等式f（1﹣a）+f（1﹣a2）＜0轉化為f（1﹣a）＜﹣f（1﹣a2）=f（a2﹣1），然后利用函數的單調性進行求解．
【考點精析】關于本題考查的函數單調性的判斷方法和函數的奇偶性，需要了解單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱才能得出正確答案．