Question

【題目】在銳角△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，且4sin2 ﹣cos2A= ．
（1）求角A的大小；
（2）若BC邊上高為1，求△ABC面積的最小值？

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A+B+C=π，

∴sin =sin =cos ，

∵4sin2 ﹣cos2A= ．

∴4cos2 ﹣cos2A= ．

∴2（1+cosA）﹣（2cos2A﹣1）= ，

整理得（2cosA﹣1）2=0，

∴cosA= ，

∵0＜A＜π，

∴A= ．

（2）解：過點(diǎn)A作AD⊥BC，在Rt△ABD，Rt△ACD中，sinB= ，sinC= ，

S△ABC= bcsinA= × × × = ，

設(shè)y=4sinBsinC，

則y=4sinBsin（ ﹣B）=2 sinBcosB+2sin2B= sin2B+1﹣cos2B=2sin（2B﹣ ）+1，

∵0＜B＜ ，0＜ ＜ ，

∴ ＜B＜ ， ＜2B﹣ ＜ ，

∴當(dāng)2B﹣ = ，即B= 時(shí)，y有最大值為3，

∴此時(shí)S有最小值，為 ．

【解析】（1）利用三角形內(nèi)角和，轉(zhuǎn)化B+C，用誘導(dǎo)公式、降冪公式、倍角公式化簡(jiǎn)，得到關(guān)于cosA的方程，求得cosA，進(jìn)而求得A．（2）在Rt△ABD，Rt△ACD中，sinB= ，sinC= ，代入三角形面積公式，求得面積的最值，只需化簡(jiǎn)求表達(dá)式中分母的最值，將C用B表示，利用兩角和公式化簡(jiǎn)，利用B的范圍求得分母的最值，進(jìn)而求得面積的最值．
【考點(diǎn)精析】掌握三角函數(shù)的最值是解答本題的根本，需要知道函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值為；當(dāng)時(shí)，取得最大值為，則，，．