Question

【題目】已知數列前項和為，且滿足，.

（1）求數列的通項公式；

（2）令，為的前項和，求證：.

（3）在（2）的條件下，若數列的前n項和為，，求證

（4）請你說明第（3）問所用到的求和方法，哪些數列通項的模型適合此方法？請舉例說明.（至少列舉出三種）

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析（4）裂項相消法,說明見解析（答案不唯一）

【解析】

（1）當時,與條件作差可得,討論是否滿足,進而求解即可；

（2）由（1）,,則,進行放縮可得,進而利用裂項相消法求解即可；

（3）由（2）,,進而利用裂項相消法求解即可；

（4）第（3）問使用的是裂項相消的求和方法,舉例說明即可.

（1）因為,

當時,,

所以,即,

當時,,即,

又,則,滿足上式,

所以數列是首項為2,公比為4的等比數列,

所以

（2）證明:由（1）,則,

所以,

當時,,

則

（3）證明:由（2）,則,

所以

（4）第（3）問使用的是裂項相消法求數列的和,

；；均適合該方法.