Question

【題目】已知函數．

（1）若函數與的圖象上存在關于原點對稱的點，求實數的取值范圍；

（2）設，已知在上存在兩個極值點，且，求證：（其中為自然對數的底數）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）函數關于原點對稱的函數解析式為．函數與的圖象上存在關于原點對稱的點，等價于方程在有解．

即，，令，，利用導數研究函數的單調性極值即可得出．

等價于等價于

，,，，再利用導數研究函數的單調性、極值，利用分析法即可得證.

（1）函數與的圖像上存在關于原點對稱的點，

即的圖像與函數的圖像有交點，

即在上有解.

即在上有解.

設，（），則

當時，為減函數；當時，為增函數，

所以，即.

（2），

在上存在兩個極值點，，且，

所以

因為且，所以，

即

設，則

要證，即證，

只需證，即證

設，，

則在上單調遞增，，

即

所以，即.