Question

【題目】已知函數(shù)，（為常數(shù)）.

（1）當(dāng)時(shí)，判斷在的單調(diào)性，并用定義證明；

（2）若對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍；

（3）討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析.

【解析】

（1）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義，即可證得函數(shù)的單調(diào)性，得到結(jié)論；

（2）由得，轉(zhuǎn)化為，設(shè)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

（3）把函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)解，令，作的圖像及直線圖像，結(jié)合圖象，即可求解，得到答案.

（1）當(dāng)時(shí)，且時(shí)，是單調(diào)遞減的.

證明：設(shè)，則

又且，

故當(dāng)時(shí)，在上是單調(diào)遞減的.

（2）由得，變形為，即，

設(shè)，令，則，

由二次函數(shù)的性質(zhì)，可得，所以，解得.

（3）由有個(gè)零點(diǎn)可得有兩個(gè)解，

轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)解，

令，作的圖像及直線圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，

由圖像可得：

i）當(dāng)或，即或時(shí)，有個(gè)零點(diǎn).

ii）當(dāng)或或時(shí)，由個(gè)零點(diǎn)；

iii）當(dāng)或時(shí)，有個(gè)零點(diǎn).