Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）當時，若函數的導函數的圖象與軸交于， 兩點，其橫坐標分別為， ，線段的中點的橫坐標為，且， 恰為函數的零點，求證： .

Answer 1

【答案】（1）當時， 在內單調遞增；當時， 在內單調遞減，在， 內單調遞增；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）對函數求導后，利用導數與函數單調性的關系，對進行討論可得函數單調性；（2）由函數的導函數可知， 又是的零點，代入相減化簡得，對求導， .令，求得函數.不等式得證．

試題解析：（1）由于的定義域為，則.對于方程，其判別式.當，即時， 恒成立，故在內單調遞增.當，即，方程恰有兩個不相等是實，令，得或，此時單調遞增；令，得，此時單調遞減.

綜上所述，當時， 在內單調遞增；當時， 在內單調遞減，在， 內單調遞增.

（2）由（1）知， ，所以的兩根， 即為方程的兩根.因為，所以， ， .又因為， 為的零點，

所以， ，兩式相減得，得.而，所以 .

令，由得，因為，兩邊同時除以，得，因為，故，解得或，所以.設，所以，則在上是減函數，所以，

即的最小值為.

所以.