Question

【題目】已知函數.

（1）若在時，有極值，求的值；

（2）在直線上是否存在點，使得過點至少有兩條直線與曲線相切？若存在，求出點坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）不存在，詳見解析

【解析】

（1）求得，根據函數在取得極值，即可求解；

（2）不妨設點，設過點與相切的直線為，切點為，求得切線方程，根據直線過，轉化為，設函數，轉化為在區間上單調遞增，即可求解.

（1）由題意，函數，則，

由在時，有極值，可得，

解得.

經檢驗，時，有極值.

綜上可得.

（2）不妨設在直線上存在一點，

設過點與相切的直線為，切點為，

則切線方程為，

又直線過，有，

即，

設，則，

所以在區間上單調遞增，所以至多有一個解，

過點與相切的直線至多有一條，

故在直線上不存在點，使得過至少有兩條直線與曲線相切.