Question

【題目】已知函數(shù)，如果存在給定的實數(shù)對，使得恒成立，則稱為“函數(shù)”；

（1）判斷函數(shù)，是否是“函數(shù)”；

（2）若是一個“函數(shù)”，求出所有滿足條件的有序?qū)崝?shù)對；

（3）若定義域為的函數(shù)是“函數(shù)”，且存在滿足條件的有序?qū)崝?shù)對和，當時，的值域為，求當時的值域；

Answer 1

【答案】(1) 不是“函數(shù)”， ，是“函數(shù)” ;(2) ;(3)

【解析】

（1）分別假設(shè)兩函數(shù)是“函數(shù)”，列出方程恒成立. 通過判斷方程的解的個數(shù)判斷出不是，對于對于列出方程恒成立,是“函數(shù)”．
（2）據(jù)題中的定義，列出方程恒成立，通過兩角和差的正切公式展開整理，令含未知數(shù)的系數(shù)為0，求出．
（3）利用題中的新定義，列出兩個等式恒成立；將用代替，兩等式結(jié)合得到函數(shù)值的遞推關(guān)系；用不完全歸納的方法求出值域．

(1)若是“函數(shù)”，則存在常數(shù)對，使得.

即，對恒成立，而最多有兩個解,

所以不是“函數(shù)”.

若是函數(shù)，則存在常數(shù)對，使得，

即存在常數(shù)對滿足條件.

所以是“函數(shù)”.

(2) 是“函數(shù)”,設(shè)常數(shù)對滿足，

恒成立.

當時，不是常數(shù).

所以，.

.

所以恒成立.

即 ，即,所以，.

又當以，.

所以當是一個“函數(shù)”時，.

(3) 函數(shù)是“函數(shù)”，且存在滿足條件的有序?qū)崝?shù)對和.

所以, ,

由得.

因為時，的值域為.

當時，，由

所以時，的值域為.

又 有，即.

所以是以2為周期的函數(shù).

當時的值域為：.