Question

【題目】已知函數.

（1）證明：函數在區間上存在唯一的極小值點；

（2）證明：函數有且僅有兩個零點.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析

【解析】

（1）由導函數解析式可確定導函數在上單調遞增；利用零點存在性定理可知存在唯一使得，由此可確定單調性，從而得到結論；

（2）①當時，由可知單調遞減，由此可確定為的一個零點；②當時，由零點存在定理和（1）中單調性，可確定存在唯一的零點；③當時，令，由可確定單調遞增，則，由此可確定，進而得到無零點；綜合三種情況可得結論.

（1）

當時，函數和單調遞減

函數單調遞增

又由，

故存在唯一使得

且當時，；當時，

當時，函數單調遞減；當時，函數單調遞增

故函數在區間上存在唯一的極小值點

（2）①當時，由

又由，，可得，故在區間上函數單調遞減

又由，故有

可得此時函數的零點為

②當時，由，

由（1）可知，此時函數在區間上有唯一的零點；

③當時，令

則，故此時函數單調遞增

有

又由，故對，有

所以在區間上函數沒有零點

綜上所述，函數有且僅有兩個零點