Question

【題目】已知拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點為F并且經過點A（1，﹣2）．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過F作傾斜角為45°的直線l，交拋物線C于M，N兩點，O為坐標原點，求△OMN的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：把點A（1，﹣2）代入拋物線C：y2=2px（p＞0），可得（﹣2）2=2p×1，解得p=2．

∴拋物線C的方程為：y2=4x

（2）解：F（1，0）．

設M（x1，y1），N（x2，y2）．

直線l的方程為：y=x﹣1．

聯立 ，

化為x2﹣6x+1=0，

∴x1+x2=6，x1x2=1．

∴|MN|= = =8．

原點O到直線MN的距離d= ．

∴△OMN的面積S= = =2

【解析】（1）把點A（1，﹣2）代入拋物線C：y2=2px（p＞0），解得p即可得出．（2）F（1，0）．設M（x1 ， y1），N（x2 ， y2）．直線l的方程為：y=x﹣1．與拋物線方程聯立可得根與系數的關系，利用弦長公式可得：|MN|= ．利用點到直線的距離公式可得：原點O到直線MN的距離d．利用△OMN的面積S= 即可得出．