Question

如圖，修建一條公路需要一段環湖彎曲路段與兩條直道平滑連接（相切），已知環湖彎曲路段為某三次函數圖象的一部分，則該函數的解析式為（　　）

• A、y=

  1

  2

  x³-

  1

  2

  x²-x
• B、y=

  1

  2

  x³+

  1

  2

  x²-3x
• C、y=

  1

  4

  x³-x
• D、y=

  1

  4

  x³+

  1

  2

  x²-2x

Answer 1

考點：導數的幾何意義,函數解析式的求解及常用方法

專題：導數的概念及應用

分析：由題設，“需要一段環湖彎曲路段與兩條直道平滑連接（相切）“可得出此兩點處的切線正是兩條直道所在直線，由此規律驗證四個選項即可得出答案．

解答： 解：由函數圖象知，此三次函數在（0，0）上處與直線y=-x相切，在（2，0）點處與y=3x-6相切，下研究四個選項中函數在兩點處的切線．
A、y′=

3

2

x2-x-1，將0，2代入，解得此時切線的斜率分別是-1，3，符合題意，故A正確；
B、y′=

3

2

x2+x-3，將0代入，此時導數為-3，不為-1，故B錯誤；
C、y′=

3

4

x2-1，將2代入，此時導數為-1，與點（2，0）處切線斜率為3矛盾，故C錯誤；
D、y′=

3

4

x2+x-2，將0代入，此時導數為-2，與點（0，0）處切線斜率為-1矛盾，故D錯誤．
故選：A．

點評：本題考查導數的幾何意義在實際問題中的應用，導數的幾何意義是導數主要應用之一．