Question

定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f（x）滿足對(duì)?x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），且當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，f（x）=-2x²+12x-18，若函數(shù)y=f（x）-log_a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)的零點(diǎn)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令x=-1，求出f（1），可得函數(shù)f（x）的周期為2，當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，f（x）=-2x²+12x-18，畫(huà)出圖形，根據(jù)函數(shù)y=f（x）-log_a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三個(gè)零點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行求解．

解答： 解：∵f（x+2）=f（x）-f（1），
且f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，
令x=-1可得f（-1+2）=f（-1）-f（1），
又f（-1）=f（1），
∴f（1）=0 則有f（x+2）=f（x），
∴f（x）是最小正周期為2的偶函數(shù)．
當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，f（x）=-2x²+12x-18=-2（x-3）²，
函數(shù)的圖象為開(kāi)口向下、頂點(diǎn)為（3，0）的拋物線．
∵函數(shù)y=f（x）-log_a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三個(gè)零點(diǎn)，
令g（x）=log_a（|x|+1），則f（x）的圖象和g（x）的圖象至少有3個(gè)交點(diǎn)．
∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1，
要使函數(shù)y=f（x）-log_a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三個(gè)零點(diǎn)，
則有g(shù)（2）＞f（2），可得 log_a（2+1）＞f（2）=-2，
即log_a3＞-2，∴3＜

1

a2

，解得-

3

3

＜a＜

3

3

，又0＜a＜1，∴0＜a＜

3

3

，
故答案為：（0，

3

3

）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查函數(shù)奇偶性、周期性及其應(yīng)用，解題的過(guò)程中用到了數(shù)形結(jié)合的方法，同時(shí)考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，正確賦值是迅速解題的關(guān)鍵．