Question

已知拋物線C:,定點(diǎn)M(0,5),直線與軸交于點(diǎn)F,O為原點(diǎn),若以O(shè)M為直徑的圓恰好過與拋物線C的交點(diǎn).
（1）求拋物線C的方程;
（2）過點(diǎn)M作直線交拋物線C于A,B兩點(diǎn),連AF,BF延長(zhǎng)交拋物線分別于,求證: 拋物線C分別過兩點(diǎn)的切線的交點(diǎn)Q在一條定直線上運(yùn)動(dòng).

Answer 1

（1）拋物線C的方程為；（2）詳見解析．

試題分析：（1）求拋物線C的方程，只需求出的值即可，由已知可知直線與軸的交點(diǎn)為拋物線C的焦點(diǎn)，又以為直徑的圓恰好過直線拋物線的交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)為，則，故，即，解得，從而可得拋物線C的方程；（2）,求證: 拋物線C分別過兩點(diǎn)的切線的交點(diǎn)Q在一條定直線上運(yùn)動(dòng)，找出交點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)即可，故需求出過兩點(diǎn)的切線的方程，而與有關(guān)，故可設(shè)出直線AB的方程為（斜率一定存在），再設(shè)出,，利用三點(diǎn)共線可得，，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出斜率，得過點(diǎn)的切線方程為:，過點(diǎn)的切線方程為:，解出，結(jié)合，得，即得，從而得證。
試題解析：（1）直線與軸的交點(diǎn)為拋物線C的焦點(diǎn),又以為直徑的圓恰好過直線拋物線的交點(diǎn),,
所以拋物線C的方程為
（2）由題意知直線AB的斜率一定存在,設(shè)直線AB的方程為,
又設(shè),
共線,,
,,同理可求
,過點(diǎn)的切線的斜率為,切線方程為:,
同理得過點(diǎn)的切線方程為:,聯(lián)立得:
由
,即點(diǎn)Q在定直線上運(yùn)動(dòng).