Question

經過點且與直線相切的動圓的圓心軌跡為．點、在軌跡上，且關于軸對稱，過線段（兩端點除外）上的任意一點作直線，使直線與軌跡在點處的切線平行，設直線與軌跡交于點、．
（1）求軌跡的方程；
（2）證明：；
（3）若點到直線的距離等于，且△的面積為20，求直線的方程．

Answer 1

（1）；（2）詳見解析；（3）.

解析試題分析：（1）方法1是利用直接法，設動點坐標為，根據題中條件列式并化簡進而求出動點的軌跡方程；方法2是將問題轉化為圓心到定點的距離等于點到定直線的距離，利用拋物線的定義寫出軌跡的方程；（2）由于軸，利用直線與直線的斜率互為相反數證明；（3）方法1是先將的方程與拋物線的方程聯立求出點的坐標，并根據一些幾何性質求出、，并將的面積用點的坐標表示以便于求出點的坐標，結合點的坐標求出直線的方程；方法2是利用（2）中的條件與結論，利用直線確定點和點坐標之間的關系，借助弦長公式求出、，并將的面積用點的坐標表示以便于求出點的坐標，結合點的坐標求出直線的方程.
試題解析：（1）方法1：設動圓圓心為，依題意得，．        1分
整理，得．所以軌跡的方程為．                   2分
方法2：設動圓圓心為，依題意得點到定點的距離和點到定直線的距離相等，
根據拋物線的定義可知，動點的軌跡是拋物線．                    1分
且其中定點為焦點，定直線為準線．
所以動圓圓心的軌跡的方程為．    2分

（2）由（1）得，即，則．
設點，由導數的幾何意義知，直線的斜率為
．          3分
由題意知點．設點，，
則，
即．                  4分
因為，．           5分
由于，即．         6分
所以．                               7分
（3）方法1：由點到的距離等于，可知