Question

拋物線與直線相切，是拋物線上兩個動點，為拋物線的焦點，的垂直平分線與軸交于點，且.
（1）求的值;
（2）求點的坐標(biāo);
（3）求直線的斜率的取值范圍.

Answer 1

（1）.（2）點的坐標(biāo)為.（3）.

解析試題分析：（1）將拋物線與直線聯(lián)立，消元后得到有兩個相等實根，由求得.
（2）利用，拋物線的準(zhǔn)線且，結(jié)合定義可得.
由在的垂直平分線上，得到，可以建立橫坐標(biāo)的方程，通過解方程得到解題目的.
（3）點在拋物線的內(nèi)部，應(yīng)有，設(shè)直線方程后，據(jù)此可建立
的不等式，進一步確定的取值范圍為.
試題解析：
（1）由 得：有兩個相等實根    1分
即 得：為所求                     3分
（2）拋物線的準(zhǔn)線且，
由定義得，則             5分
設(shè)，由在的垂直平分線上，從而     6分
則

                                 8分
因為，所以
又因為，所以，則點的坐標(biāo)為                 10分
（3）設(shè)的中點，有                     11分
設(shè)直線方程過點，得                  12分
又因為點在拋物線的內(nèi)部，則              13分
得： ，則
又因為，則
故的取值范圍為                                14分
考點：拋物線的定義，中點坐標(biāo)公式，直線與拋物線的位置關(guān)系.