Question

某人有樓房一幢，室內(nèi)面積共180m²，擬分隔成兩類房間作為旅游客房．大房間每間面積為18m²，可住游客5名，每名游客每天住宿費為40元；小房間每間面積為15m²，可住游客3名，每名游客每天住宿費為50元；裝修大房間每間需1000元，裝修小房間每間需600元．如果他只能籌款8000元用于裝修，且游客能住滿客房，他應(yīng)隔出大房間和小房間各多少間，能獲得最大收益？最大收益是多少？

Answer 1

分析：先設(shè)隔出大、小房間分別為x間、y間，收益為Z元，寫出約束條件、目標(biāo)函數(shù)，欲求收入最大值的范圍，即求可行域中的最優(yōu)解，在線性規(guī)劃的解答題中建議使用直線平移法求出最優(yōu)解，即將目標(biāo)函數(shù)看成是一條直線，分析目標(biāo)函數(shù)Z與直線截距的關(guān)系，進(jìn)而求出最優(yōu)解．注意：x、y必須是整數(shù)，最后要將所求最優(yōu)解還原為實際問題．

解答：解：設(shè)隔出大、小房間分別為x間、y間，
收益為Z元則Z=200x+150y，其中x、y滿足

18x+15y≤180 1000x+600y≤8000 x∈N，y∈N

，
如圖所示，
由圖解法易得Z=200x+150y過點A（20/7，60/7）時，目標(biāo)函數(shù)Z取得最大值．
但x、y必須是整數(shù)，還需在可行區(qū)域內(nèi)找出使目標(biāo)函數(shù)Z取得最大值的整點．顯然目標(biāo)函數(shù)Z取得最大值的整點一定是分布在可行區(qū)域的右上側(cè)，則利用枚舉法即可求出整點最優(yōu)解．
這些整點有：（0，12），（1，10），（2，9），（3，8），（4，6），（5，5），（6，3），（7，1），（8，0），分別代入Z=200x+150y，逐一驗證，可得取整點（0，12）或（3，8）時，
Z_max=200×0+150×12=200×3+150×8=1800（元）．
所以要獲得最大收益，有兩種方案：只隔出小房間12間；或隔出大房間3間，小房間8間．
答：只隔出小房間12間；或隔出大房間3間，小房間8間，能獲得最大收益，最大收益是1800元．

點評：本題主要考查了簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用．在解決線性規(guī)劃的應(yīng)用題時，其步驟為：①分析題目中相關(guān)量的關(guān)系，列出不等式組，即約束條件⇒②由約束條件畫出可行域⇒③分析目標(biāo)函數(shù)Z與直線截距之間的關(guān)系⇒④使用平移直線法求出最優(yōu)解⇒⑤還原到現(xiàn)實問題中．