Question

某人有樓房一幢，室內面積共計180m²，擬分割成兩類房間作為旅游客房，大房間每間面積為18m²，可住游客5名，每名游客每天住宿費40元；小房間每間面積為15m²，可以住游客3名，每名游客每天住宿費50元；裝修大房間每間需要1000元，裝修小房間每間需要600元．如果他只能籌款8000元用于裝修，且假定游客能住滿客房，他應隔出大房間和小房間各多少間，才能獲得最大收益？

Answer 1

分析：先設分割大房間為x間，小房間為y間，收益為z元，列出約束條件，再根據約束條件畫出可行域，設z=200x+150y，再利用z的幾何意義求最值，只需求出直線z=200x+150y過可行域內的整數點時，從而得到z值即可．

解答：解：設分割大房間為x間，小房間為y間，收益為z元
根據題意得：

18x+15y≤180 1000x+600y≤8000 x，y∈N

⇒

6x+5y≤60 5x+3y≤40 x，y∈N

求：z=200x+150y的最大值．
作出約束條件表示的平面區域
把目標函數z=200x+150y化為y=-

4

3

x+

z

150

平移直線，直線越往上移，z越大，
所以當直線經過M點時，z的值最大，
解方程組

6x+5y=60 5x+3y=40

得M(

20

7

，

60

7

)，
因為最優解應該是整數解，通過調整得，當直線過M'（3，8）和M''（0，12）時z最大
所以當大房間為3間，小房間為8間或大房間為0間，小房間為12間時，可獲最大的收益為1800元．

點評：在解決線性規劃的應用題時，其步驟為：①分析題目中相關量的關系，列出不等式組，即約束條件⇒②由約束條件畫出可行域⇒③分析目標函數Z與直線截距之間的關系⇒④使用平移直線法求出最優解⇒⑤還原到現實問題中．