Question

某人有樓房一幢，室內面積共計180m²，擬分割成兩類房間作為旅游客房，大房間每間面積為18m²，可住游客5名，每名游客每天住宿費40元；小房間每間面積為15m²，可以住游客3名，每名游客每天住宿費50元；裝修大房間每間需要1000元，裝修小房間每間需要600元．如果他只能籌款8000元用于裝修，且游客能住滿客房，他應隔出大房間和小房間各多少間，每天能獲得最大的房租收益？（注：設分割大房間為x間，小房間為y間，每天的房租收益為z元）
（1）寫出x，y所滿足的線性約束條件；
（2）寫出目標函數的表達式；
（3）求x，y各為多少時，每天能獲得最大的房租收益？每天能獲得最大的房租收益是多少？

Answer 1

分析：先設分割出大房間為x間、小房間為y間，收益為z元，可得z=200x+150y．列出約束條件并根據約束條件畫出可行域，設再利用z的幾何意義求最值，求出直線z=200x+150y過可行域內的整數點坐標，進而得到最大的房租收益和相應的x、y值．

解答：解：設分割大房間為x間，小房間為y間，收益為z元
目標函數為z=200x+150y
根據題意得：

18x+15y≤180 1000x+600y≤8000 x、y∈N

，即

6x+5y≤60 5x+3y≤40 x、y∈N

作出約束條件表示的平面區域，如圖所示
把目標函數z=200x+150y化為y=-

4

3

x+

z

150

平移直線，直線越往上移，z越大，
所以當直線經過M點時，z的值最大，
解方程組

6x+5y=60 5x+3y=40

，得M（

20

7

，

60

7

），
由于最優解應該是整數解，
通過調整得當直線過M'（3，8）和M''（0，12）時，
z達到最大值1800
∴當大房間為3間且小房間為8間，或大房間為0間且小房間為12間時可獲最大收益，最大的收益為1800元．

點評：本題給出線性約束條件，求目標函數的最大值．著重考查了二元一次不等式組表示的平面區域、線性規劃的應用等知識，屬于中檔題．