Question

【題目】在直角坐標系xoy中，曲線C1： （t為參數，t≠0），其中0≤α＜π，在以O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：ρ=2sinθ，曲線C3：ρ=2 cosθ． （Ⅰ）求C2與C3交點的直角坐標；
（Ⅱ）若C2與C1相交于點A，C3與C1相交于點B，求|AB|的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）曲線C2：ρ=2sinθ得ρ2=2ρsinθ，即x2+y2=2y，①

C3：ρ=2 cosθ，則ρ2=2 ρcosθ，即x2+y2=2 x，②

由①②得 或 ，

即C2與C3交點的直角坐標為（0，0），（ ， ）；

（Ⅱ）曲線C1的直角坐標方程為y=tanαx，

則極坐標方程為θ=α（ρ∈R，ρ≠0），其中0≤a＜π．

因此A得到極坐標為（2sinα，α），B的極坐標為（2 cosα，α）．

所以|AB|=|2sinα﹣2 cosα|=4|sin（α ）|，

當α= 時，|AB|取得最大值，最大值為4．

【解析】（Ⅰ）將C2與C3轉化為直角坐標方程，解方程組即可求出交點坐標；（Ⅱ）求出A，B的極坐標，利用距離公式進行求解．