Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面是以O為中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=

π

3

，M為BC上一點，且BM=

1

2

．
（Ⅰ）證明：BC⊥平面POM；
（Ⅱ）若MP⊥AP，求四棱錐P-ABMO的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）連接OB，根據底面是以O為中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=

π

3

，M為BC上一點，且BM=

1

2

，結合菱形的性質，余弦定理，勾股定理，可得OM⊥BC及PO⊥BC，進而由線面垂直的判定定理得到BC⊥平面POM；
（Ⅱ）設PO=a，利用勾股定理和余弦定理解三角形求出PO的值，及四棱錐P-ABMO的底面積S，代入棱錐體積公式，可得答案．

解答： 證明：（Ⅰ）∵底面是以O為中心的菱形，PO⊥底面ABCD，

故O為底面ABCD的中心，連接OB，則AO⊥OB，
∵AB=2，∠BAD=

π

3

，
∴OB=AB•sin∠BAO=2sin（

π

2

-

π

3

）=1，
又∵BM=

1

2

，∠OBM=

π

3

，
∴在△OBM中，OM²=OB²+BM²-2OB•BM•cos∠OBM=

3

4

，
即OB²=OM²+BM²，即OM⊥BM，
∴OM⊥BC，
又∵PO⊥底面ABCD，BC?底面ABCD，
∴PO⊥BC，
又∵OM∩PO=O，OM，PO?平面POM，
∴BC⊥平面POM；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：OA=AB•cos∠BAO=2cos（

π

2

-

π

3

）=

3

，
設PO=a，由PO⊥底面ABCD可得：△POA為直角三角形，
故PA²=PO²+OA²=a²+3，
由△POM也為直角三角形得：
PM²=PO²+OM²=a²+

3

4

，
連接AM，

在△ABM中，AM²=AB²+BM²-2AB•BM•cos∠ABM=22+(

1

2

)2-2•2•

1

2

•cos

2π

3

=

21

4

，
由MP⊥AP可知：△APM為直角三角形，
則AM²=PA²+PM²，即a²+3+a²+

3

4

=

21

4

，
解得a=

3

2

，即PO=

3

2

，
此時四棱錐P-ABMO的底面積S=S_△AOB+S_△BOM=

1

2

•AO•OB+

1

2

•BM•OM=

5 3

8

，
∴四棱錐P-ABMO的體積V=

1

3

S•PO=

5

16

點評：本題考查的知識點是棱錐的體積，直線與平面垂直的判定，難度中檔．