Question

在△ABC中，內角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，且a+b+c=8．
（Ⅰ）若a=2，b=

5

2

，求cosC的值；
（Ⅱ）若sinAcos²

B

2

+sinBcos²

A

2

=2sinC，且△ABC的面積S=

9

2

sinC，求a和b的值．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：三角函數的求值

分析：（Ⅰ）由a+b+c=8，根據a=2，b=

5

2

求出c的長，利用余弦定理表示出cosC，將三邊長代入求出cosC的值即可；
（Ⅱ）已知等式左邊利用二倍角的余弦函數公式化簡，整理后利用兩角和與差的正弦函數公式及誘導公式變形，再利用正弦定理得到a+b=3c，與a+b+c=8聯立求出a+b的值，利用三角形的面積公式列出關系式，代入S=

9

2

sinC求出ab的值，聯立即可求出a與b的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵a=2，b=

5

2

，且a+b+c=8，
∴c=8-（a+b）=

7

2

，
∴由余弦定理得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

22+( 5 2 )2-( 7 2 )2

2×2× 5 2

=-

1

5

；
（Ⅱ）由sinAcos²

B

2

+sinBcos²

A

2

=2sinC可得：sinA•

1+cosB

2

+sinB•

1+cosA

2

=2sinC，
整理得：sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC，
∵sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC，
∴sinA+sinB=3sinC，
利用正弦定理化簡得：a+b=3c，
∵a+b+c=8，
∴a+b=6①，
∵S=

1

2

absinC=

9

2

sinC，
∴ab=9②，
聯立①②解得：a=b=3．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．