Question

設實數(shù)c＞0，整數(shù)p＞1，n∈N^*．
（Ⅰ）證明：當x＞-1且x≠0時，（1+x）^p＞1+px；
（Ⅱ）數(shù)列{a_n}滿足a₁＞c

1

p

，a_n+1=

p-1

p

a_n+

c

p

a_n^1-p．證明：a_n＞a_n+1＞c

1

p

．

Answer 1

考點：不等式的證明,數(shù)列與不等式的綜合,分析法和綜合法

專題：函數(shù)思想,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：第（Ⅰ）問中，可構造函數(shù)f（x）=（1+x）^p-（1+px），求導數(shù)后利用函數(shù)的單調(diào)性求解；
對第（Ⅱ）問，從a_n+1＞c

1

p

著手，由a_n+1=

p-1

p

a_n+

c

p

a_n^1-p，將求證式進行等價轉(zhuǎn)化后即可解決，用相同的方式將a_n＞a_n+1進行轉(zhuǎn)換，設法利用已證結論證明．

解答： 證明：（Ⅰ）令f（x）=（1+x）^p-（1+px），則f′（x）=p（1+x）^p-1-p=p[（1+x）^p-1-1]．
①當-1＜x＜0時，0＜1+x＜1，由p＞1知p-1＞0，∴（1+x）^p-1＜（1+x）⁰=1，
∴（1+x）^p-1-1＜0，即f′（x）＜0，
∴f（x）在（-1，0]上為減函數(shù)，
∴f（x）＞f（0）=（1+0）^p-（1+p×0）=0，即（1+x）^p-（1+px）＞0，
∴（1+x）^p＞1+px．
②當x＞0時，有1+x＞1，得（1+x）^p-1＞（1+x）⁰=1，
∴f′（x）＞0，
∴f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，
∴f（x）＞f（0）=0，
∴（1+x）^p＞1+px．
綜合①、②知，當x＞-1且x≠0時，都有（1+x）^p＞1+px，得證．
（Ⅱ）先證a_n+1＞c

1

p

．
∵a_n+1=

p-1

p

a_n+

c

p

a_n^1-p，∴只需證

p-1

p

a_n+

c

p

a_n^1-p＞c

1

p

，
將

p-1

p

寫成p-1個

1

p

相加，上式左邊=

1

p

an+

1

p

an+…+

1

p

an+

c a 1-p n

p

≥p

p	a p-1 n pp-1 • c a 1-p n p

=c

1

p

，
當且僅當

an

p

=

c a 1-p n

p

，即an=c

1

p

時，上式取“=”號，
當n=1時，由題設知a1＞c

1

p

，∴上式“=”號不成立，
∴

p-1

p

a_n+

c

p

a_n^1-p＞c

1

p

，即a_n+1＞c

1

p

．
再證a_n＞a_n+1．
只需證a_n＞

p-1

p

a_n+

c

p

a_n^1-p，化簡、整理得a_n^p＞c，只需證a_n＞c 

1

p

．
由前知a_n+1＞c

1

p

成立，即從數(shù)列{a_n}的第2項開始成立，
又n=1時，由題設知a1＞c

1

p

成立，
∴an＞c

1

p

對n∈N^*成立，∴a_n＞a_n+1．
綜上知，a_n＞a_n+1＞c

1

p

，原不等式得證．

點評：本題是一道壓軸題，考查的知識眾多，涉及到函數(shù)、數(shù)列、不等式，利用的方法有分析法與綜合法等，綜合性很強，難度較大．