Question

【題目】已知如圖1所示，在邊長為12的正方形,中，,且,分別交于點,將該正方形沿,折疊，使得與重合，構成如圖2 所示的三棱柱,在該三棱柱底邊上有一點,滿足; 請在圖2 中解決下列問題:

(I)求證:當時，//平面；

(Ⅱ)若直線與平面所成角的正弦值為，求的值.

Answer 1

【答案】(I)見解析；(II)或.

【解析】分析：（I）過作交于，連接，則，推出四邊形為平行四邊形，則，由此能證明//平面；（Ⅱ）根據及正方形邊長為，可推出，從而以為軸，建立空間直角坐標系，設立各點坐標，然后求出平面的法向量，再根據直線與平面所成角的正弦值為，即可求得的值.

詳解：(I)解: 過作交于，連接，所以,

∴共面且平面交平面 于,

∵

又 ,

∴四邊形為平行四邊形，∴,

平面,平面,

∴//平面

(II)解:∵

∴,從而,即.

∴.

分別以為軸，則,.

設平面的法向量為,所以得.

令，則,，所以

由得的坐標為

∵直線與平面所成角的正弦值為,

∴解得或.