Question

【題目】如圖，在空間幾何體中，平面平面，與都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，點(diǎn)在平面上的射影在的平分線上，已知和平面所成角為.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2).

【解析】分析：（1）取中點(diǎn)，連接，先證明，再證明平面. （2）由已知，兩兩互相垂直，故以為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求二面角的余弦值.

詳解：（1）證明：由題意知，與都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，取中點(diǎn)，連接，則，.

又∵平面平面，平面，作平面，

那么，根據(jù)題意，點(diǎn)落在上，

∵和平面所成角為，∴.

∵，∴，

∴四邊形是平行四邊形，∴，∴平面，平面，

∴平面.

（2）由已知，兩兩互相垂直，故以為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，得，，.

∴，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為.

∵，∴.令，∴取，

又∵平面的一個(gè)法向量，∴.

又由圖知，所求二面角的平面角為銳角，∴ 二面角的余弦值為.