Question

(2014·孝感模擬)已知定義在區間[0,2]上的兩個函數f(x)和g(x),其中f(x)=-x²+2ax+1+a²,g(x)=x-+.
(1)求函數f(x)的最小值.
(2)對于?x₁,x₂∈[0,2],f(x₁)>g(x₂)恒成立,求實數a的取值范圍.

Answer 1

（1）f(x)_min=
（2）a∈(-∞,-5)∪(1,+∞)

(1)函數f(x)的對稱軸是x=a,
當a≤1時,f(x)_min=f(2)=a²+4a-3,
當a>1時,f(x)_min=f(0)=1+a²,
所以f(x)_min=
(2)令=t(t∈[0,]),則x=2-t²,
所以g(x)=h(t)=-t²+t+,
因為對稱軸t=∈,所以g(x)_max=h(t)_max=2,
由題意,要使對于?x₁,x₂∈[0,2],f(x₁)>g(x₂)恒成立,只要f(x)_min>g(x)_max即可,
所以當a≤1時,f(x)_min=a²+4a-3>2,
解得：a<-5,
當a>1時,f(x)_min=1+a²>2,解得：a>1,
綜上所述,a∈(-∞,-5)∪(1,+∞).